Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）G是ED上一點，連接BE交圓于F，連接AF并延長交ED于G．若GE=2，AF=3，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠EAF的度數為30°

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）利用圓周角定理得到∠AFB=90°，再證明Rt△GEF∽△Rt△GAE，利用相似比得到 于是可求出GF=1，然后在Rt△AEG中利用正弦定義求出∠EAF的度數即可．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵AB為直徑，

∴∠AFB=90°，

∵∠EGF=∠AGF，

∴Rt△GEF∽△Rt△GAE，

∴，即

整理得GF2+3GF﹣4=0，解得GF=1或GF=﹣4（舍去），

在Rt△AEG中，sin∠EAG

∴∠EAG=30°，

即∠EAF的度數為30°．