Question

【題目】如圖，已知點D在⊙O的直徑AB延長線上，點C在⊙O上，過點D作ED⊥AD，與AC的延長線相交于點E，且CD＝DE.

(1)求證：CD為⊙O的切線；

(2)若AB＝12，且BC＝CE時，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6－6.

【解析】

（1）連結0C，由AB為直徑，得到∠ACB=90°，求得∠E=∠ABC，根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠OCB，等量代換得到∠E=∠OCB，推出OC⊥CD，于是得到結論；
（2）證明△OBC≌△DCE(ASA),得到OC＝CD＝6，根據勾股定理求出斜邊的長，進而可求出BD的長．

(1)證明：連接OC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD＋∠ECD＝90°，

在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠E＝90°－∠A，∠ABC＝90°－∠A,

∴∠E＝∠ABC，

∵OB＝OC，

∴∠ABC＝∠OCB，

∴∠E＝∠OCB，

又∵CD＝DE，

∴∠E＝∠ECD，

∴∠OCB＝∠ECD，

∴∠OCB＋∠BCD＝90°，即OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線．

(2)由(1)知，∠OBC＝∠OCB＝∠DCE＝∠E，

在△OBC和△DCE中，

∴△OBC≌△DCE(ASA),

∴OC＝CD＝6，

Rt△OCD中，OC＝CD＝6，∠OCD＝90°，

∴

即