Question

13．如圖，D是正△ABC的外接圓⊙O上弧AB上一點，給出下列結論：①∠BDC=∠ADC=60°；②AE•BE=CE•ED；③CA²=CE•CD；④CD=BD+AD．其中正確的個數是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 連接AD，根據等邊三角形的性質得到∠BAC=∠ABC=60°，由圓周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，于是得到∠BDC=∠ADC=60°，故①正確；根據圓周角定理得到∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，推出△BDE∽△ACE，根據相似三角形的性質即可得到AE•BE=CE•ED；故②正確；由于∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，得到△ACD∽△ACE，根據相似三角形的性質得到CA²=CE•CD；故③正確；在CD上截取CF=BD，通過△ABD≌△ACF，得到AD=AF，推出△ADF是等邊三角形，得到DF=AD，等量代換即可得到結論．

解答 解：連接AD，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BDC=∠ADC=60°，故①正確；
∵∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，
∴△BDE∽△ACE，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{DE}{AE}$，
∴AE•BE=CE•ED；故②正確；
∵∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，
∴△ACD∽△ACE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CE}{AC}$，
∴CA²=CE•CD；故③正確；
在CD上截取CF=BD，
在△ABD與△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CF}\\{∠ABD=∠ACF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD=AF，
∵∠ADC=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴DF=AD，
∵CD=CF+DF，
∴CD=BD+AD．故④正確．
故選A．

點評 此題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．