Question

如圖，∠BAD與∠BCD的一邊相交于點O，AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，并相交于點M，AM交BC于點E，CM交AD于點F．
（1）若∠B=α，∠D=β，求∠M的度數(shù)（用α、β的代數(shù)式表示）；
（2）若∠B=∠D，ME=MF，求證：AB=CD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系，代入進行計算即可得解；
（2）首先利用（1）中結(jié)論得出∠MAF=∠DCF，進而得出△AMF≌△CME，即可得出AE=CF，再求出∠BAE=∠DCF，進而得出△ABE≌△DCF（AAS）即可得出答案．

解答：（1）解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
所以，∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=

1

2

（∠B+∠D），
∵∠B=α，∠D=β，
∴∠M=

1

2

（α+β）；

（2）證明：∵∠B=∠D，∠M=

1

2

（∠B+∠D）=∠B=∠D，
∴∠D=∠M，
∵∠AFM=∠DFC，
∴∠MAF=∠DCF，
∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠ACE=∠DCM=∠MAF，
在△AMF和△CME中，

∠MAF=∠MCE ∠M=∠M MF=ME

，
∴△AMF≌△CME（AAS），
∴AM=CM，
∵EM=MF，
∴AE=CF，
∵∠B=∠D，∠BOA=∠DOC，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，

∠B=∠D ∠BAE=∠DCF AE=CF

，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB=CD．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用“8字形”的對應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．