Question

11．在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB延長線上，且ED=EC．
（1）當點E為AB中點時，如圖①，AE=DB（填“＞”“＜”或“=”）
（2）當點E為AB上任意一點時，如圖②，AE=DB（填“＞”“＜”或“=”），并說明理由．（提示：過E作EF∥BC，交AC于點F）

Answer 1

分析 （1）先證AE=BE，再證∠D=∠DEB，得出DB=BE，即可得出DB=AE；
（2）過點E作EF∥BC，交AC于F，先證明△AEF是等邊三角形，得出AE=EF，再證明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可證出AE=DB．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點，
∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
故答案為：=；
（2）DB=AE成立；理由如下：
過點E作EF∥BC，交AC于F，如圖2所示：則∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠CEF=∠ECD，
∵∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∠DBE=120°，
∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF，∠EFC=120°，
∴BE=CF，∠DBE=∠EFC，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}&{\;}\\{∠DBE=∠EFC}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=DB；
故答案為：=．

點評 本題考查了等邊三角形的性質與判定、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．