Question

在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點C，點B的坐標為（a，0），（其中a＞0），直線l過動點M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點D、E，P點在y軸上（P點異于C點）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點Q，連接PA．

（1）寫出A、C兩點的坐標；
（2）當0＜m＜1時，若△PAQ是以P為頂點的倍邊三角形（注：若△HNK滿足HN=2HK，則稱△HNK為以H為頂點的倍邊三角形），求出m的值；
（3）當1＜m＜2時，是否存在實數m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代數式表示）；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在直線解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，
∴A（﹣1，0），C（0，2）。
（2）當0＜m＜1時，依題意畫出圖形，如圖1，

∵PE=CE，∴直線l是線段PC的垂直平分線。
∴MC=MP。
又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）。
設直線l與y=2x+2交于點D，
令y=m，則x=，∴D（，m）。
設直線DP的解析式為y=kx+b，則有
，解得：。
∴直線DP的解析式為：y=﹣2x+2m﹣2。
令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）。
已知△PAQ是以P為頂點的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，
∴，即，
整理得：。
解得：m=（＞1，不合題意，舍去）或m=。
∴m=。
（3）當1＜m＜2時，假設存在實數m，使CD•AQ=PQ•DE，
依題意畫出圖形，如圖2，

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，
由勾股定理得：。
∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），
∴AQ=m，AB=a+1。
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=。
∵直線l∥x軸，∴△CDE∽△CAB。
∴。
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴。
∴，即，解得：。
∵1＜m＜2，∴當0＜a≤1時，m≥2，m不存在；當a＞1時，。
∴當1＜m＜2時，若a＞1，則存在實數，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，則m不存在。

試題分析：（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征求解；
（2）如圖1所示，解題關鍵是求出點P、點Q的坐標，然后利用PA=2PQ，列方程求解。
（3）如圖2所示，利用相似三角形，將已知的比例式轉化為：，據此列方程求出m的值。