Question

10．在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），且a，b滿足$\sqrt{-（a+2）^{2}}$-（b-6）²=0．
（1）求OA、0B的長度；
（2）若P從點B出發沿著射線BO方向運動（點P不與原點重合），速度為每秒2個單位長度，連接AP，設點P的運動時間為t，△AOP的面積為S．請你用含t的式子表示S．
（3）在（2）的條件下，點Q從A點沿x軸正方向運動，點Q與點P同時運動，Q點速度為每秒1個單位長度；當S=4時，求△APQ與以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積之比的值．

Answer 1

分析 （1）利用非負性和二次根式的意義得出結論；
（2）分兩種情況討論計算，分別表示出OP和OP'，最后用面積公式即可，
（3）分兩種情況求出滿足條件的時間t，進而OQ和OQ'最后用面積公式即可得出結論．

解答 解：∵$\sqrt{-（a+2）^{2}}$-（b-6）²=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴A（-2，0），B（0，6）；
∴OA=2，OB=6；
（2）如圖1，

∵OB=6，
∴t=6÷2=3，
①當點P在y軸正半軸上時，即：0＜t＜3，
由運動知，BP=2t，
∵OA=2，
∴OP=OB-BP=6-2t，
∴S=S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•OP=$\frac{1}{2}$×2OP=OP=6-2t，
②當點P在y軸負半軸時，即：t＞3，
由運動知，BP'=2t，
∴OP'=BP'-OB=2t-6，
∴S=S_△AOP'=$\frac{1}{2}$OA•OP'=$\frac{1}{2}$×2OP'=OP'=2t-6，
即：S=$\left\{\begin{array}{l}{6-2t（0＜t＜3）}\\{2t-6（t＞3）}\end{array}\right.$，
（3）如圖2，

①當0＜t＜3時，∵S_△AOP=4，
∴6-2t=4，
∴t=1，
∴點Q從A點沿x軸正方向1秒，OP=6-2=4，
∴AQ=1，
∵OA=2，
∴OQ=1，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$×OP=2；
S_{四邊形ABPQ}=S_△AOB-S_△POQ=$\frac{1}{2}$×OA×OB-$\frac{1}{2}$OQ×OP=6-$\frac{1}{2}$×1×4=4，
∴△APQ與以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積之比1：2；
②當t＞3時，∵S_△AOP=4，
∴2t-6=4，
∴t=5，
∴點Q從A點沿x軸正方向5秒，OP'=4，AQ'=5，
∵OA=2，
∴OQ'=AQ'-OA=3，
∴S_△AP'Q'=$\frac{1}{2}$OQ'•OP'=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_{四邊形ABQ'P}'=S_△AP'Q'+S_△ABQ'=6+$\frac{1}{2}$×3×4=6+6=12，
∴△AP'Q'與以A、B、P'、Q'為頂點的四邊形的面積之比1：2；
∴當S_△AOP=4時，S_△APQ的值為2或6．△APQ與以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積之比1：2

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了非負性，三角形的面積公式，解本題的關鍵是分類討論思想，是一道比較簡單的題目．