Question

5．將直角邊長為6的等腰直角△AOC放在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x軸，y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B（-3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標；
（3）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點，將（1）中的拋物線進行平移，平移后，該拋物線只有一個不動點，且頂點在直線y=2x-$\frac{7}{4}$上，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，所以設拋物線方程為兩點式：y=a（x+3）（x-6），然后把點A的坐標代入該函數解析式即可求得系數a的值；
（2）利用相似三角形的性質得出S_△PCE=$\frac{（m-6）^{2}}{3}$，進而求出△APE的面積S，即可得出點P坐標；
（3）利用拋物線上不動點的定義以及不動點的個數得出方程h-k=$\frac{3}{4}$①，再用平移后的拋物線的頂點在直線y=2x-$\frac{7}{4}$上，得出方程k=2k-$\frac{7}{4}$②，聯立解方程組即可．

解答 解：（1）∵B（-3，0），C（6，0），設拋物線為y=a（x+3）（x-6），過A（0，6）
∴6=a（0+3）（0-6），
解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-6），
即y=-$\frac{1}{3}$x²+x+6；
（2）設P（m，0），
如圖，

∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△BCA}}=\frac{P{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，
$\frac{{S}_{△PCE}}{27}=\frac{（m-6）^{2}}{81}$，
∴S_△PCE=$\frac{（m-6）^{2}}{3}$，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-$\frac{1}{3}$m²+m+6，
=-$\frac{1}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，S有最大值為$\frac{27}{4}$；
∴P（$\frac{3}{2}$，0）；
（3）設平移后的拋物線的頂點為G（h，k），
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-h）²+k，
由拋物線的不動點的定義，得，t=-$\frac{1}{3}$（t-h）²+k，
即：t²+（3-2h）t+h²-3k=0，
∵平移后，拋物線只有一個不動點，
∴此方程有兩個相等的實數根，
∴△=（3-2h）²-4（h²-3k）=0，
∴h-k=$\frac{3}{4}$①，
∵頂點在直線y=2x-$\frac{7}{4}$上，
∴k=2k-$\frac{7}{4}$②，
∴聯立①②得，h=1，k=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x-1）²+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{12}$，

點評 此題二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，相似三角形的性質和判定，函數的極值，新定義及一元二次方程根的情況，解本題的關鍵是理解新定義，是一道中等難度的題目．