Question

【題目】我們提供如下定理：在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，

如圖(1)，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC=AB．

請利用以上定理及有關知識，解決下列問題：

如圖(2)，邊長為6的等邊三角形ABC中，點D從A出發，沿射線AB方向有A向B運動點F同時從C出發，以相同的速度沿著射線BC方向運動，過點D作DE⊥AC，DF交射線AC于點G．

(1)當點D運動到AB的中點時，直接寫出AE的長；

(2)當DF⊥AB時，求AD的長及△BDF的面積；

(3)小明通過測量發現，當點D在線段AB上時，EG的長始終等于AC的一半，他想當點D運動到圖3的情況時，EG的長始終等于AC的一半嗎?若改變，說明理由；若不變，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE =；（2）AD=2，S△BDF=8；（3）不變，理由見解析

【解析】

（1）根據D為AB的中點，求出AD的長，在Rt△ADE中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長即可；

（2）根據題意得到設AD=CF=x，表示出BD與BF，在Rt△BDF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到BF=2BD，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BD與BF的長，利用勾股定理求出DF的長，即可確定出△BDF的面積；

（3）不變，理由如下，如圖，過F作FM⊥AG延長線于M，由AD=CF，且△ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質及銳角三角函數定義得到DE=FM，以及AE=CM，利用AAS得到△DEG與△FMC全等，利用全等三角形對應邊相等得到EG=MG，根據AC=AE+EC，等量代換即可得證．

解：（1）當D為AB中點時，AD=BD=AB=3，

在Rt△ADE中，∠A=60°，

∴∠ADE=30°，

∴AE=AD=；

（2）設AD=x，∴CF=x，

則BD=6-x，BF=6+x，

∵∠B=60°，∠BDF=90°，

∴∠F=30°，即BF=2BD，

∴6+x=2×(6-x)，

解得：x=2，即AD=2，

∴BD=4，BF=8，

根據勾股定理得：DF=4，

∴S△BDF=×4×4=8；

（3）不變，理由如下，如圖，過F作FM⊥AG延長線于M，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°，

在Rt△ADE和Rt△FCM中，

∴Rt△ADE≌Rt△FCM，

∴DE=FM，AE=CM，

在△DEG和△FMG，

，

∴△DEG≌△FMG，

∴GE=GM，

∴AC=AE+EC=CM+CE=GE+GM=2GE．