Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，動點Q在邊AB上，連接CQ，將△BQC沿CQ所在的直線對折得到△CQN，延長QN交直線CD于點M．

（1）求證：MC＝MQ

（2）當BQ＝1時，求DM的長；

（3）過點D作DE⊥CQ，垂足為點E，直線QN與直線DE交于點F，且，求BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.5；（3）或2

【解析】

（1）由矩形的性質得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折疊的性質得出△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，∠MCQ=∠CQN，證出MC=MQ．
（2）設DM=x，則MQ=MC=6+x，MN=5+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
（3）分兩種情況：①當點M在CD延長線上時，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，證出∠FDM=∠F，得出MD=MF，過M作MH⊥DF于H，則DF=2DH，證明△MHD∽△CED，得出，求出MD=CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解決問題．
②當點M在CD邊上時，同①得出BQ=2即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB
即∠MCQ=∠CQB，
∵△BQC沿CQ所在的直線對折得到△CQN，
∴∠CQN=∠CQB，
即∠MCQ=∠MQC，
∴MC=MQ．
（2）∵四邊形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直線對折得到△CQN，
∴∠CNM=∠B=90°，
設DM=x，則MQ=MC=6+x，MN=5+x，
在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2，
即（x+6）2=42+（x+5）2，
解得：x=，
∴DM=，
∴DM的長2.5．
（3）解：分兩種情況：
①當點M在CD延長線上時，如圖所示：

由（1）得∠MCQ=∠MQC，
∵DE⊥CQ，
∴∠CDE=∠F，
又∵∠CDE=∠FDM，
∴∠FDM=∠F，
∴MD=MF．
過M點作MH⊥DF于H，則DF=2DH，

又，

∴，
∵DE⊥CQMH⊥DF，
∴∠MHD=∠DEC=90°，
∴△MHD∽△DEC
∴ ，
∴DM=1，MC=MQ=7，
∴MN＝
∴BQ＝NQ＝
②當點M在CD邊上時，如圖所示，類似可求得BQ=2．
綜上所述，BQ的長為或2．