Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P為AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，過點B作BE∥PC交⊙O于點E，連接CE，CB．

（1）試判斷△BCE的形狀，并說明理由；

（2）過點C作CD⊥AB于點D交BE于點F，若cosP＝，CF＝5，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）△BCE為等腰三角形，理由見解析；（2）AB＝20

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質得到∠OCP＝90°，根據平行線的性質得到OC⊥BE，根據等腰三角形的性質即可得到結論；

（2）連接AC，根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠A＝∠DCB，得到∠FCB＝∠CBF，根據等腰三角形的性質得到CF＝BF＝5，根據勾股定理得到BC＝，由射影定理即可得到結論．

（1）△BCE為等腰三角形，

理由：連接OC，

∵PC切⊙O于點C，

∴∠OCP＝90°，

∵BE∥PC，

∴OC⊥BE，

∴

∴∠CBE＝∠E，

∴EC＝BC，

即△BCE是等腰三角形；

（2）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝∠A+∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠E＝∠A，

∴∠FCB＝∠CBF，

∴CF＝BF＝5，

∵BE∥PC，

∴∠DBF＝∠P，

∴cosP＝cos∠DBF＝，

∴BD＝4，DF＝3，CD＝8，

∴BC＝，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴BC2＝ABBD，

∴（4）2＝4AB，

∴AB＝20．