Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，拋物線的對稱軸x＝1，與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的解析式及A、B點的坐標．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形；若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大；求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，點P（1+，﹣）；（3）故S有最大值為，此時點P（，﹣）．

【解析】

（1）根據題意得到函數的對稱軸為：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；

（2）四邊形POP′C為菱形，則yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；

（3）過點P作PH∥y軸交BC于點P，由點B、C的坐標得到直線BC的表達式，設點P（x，x2﹣2x﹣3），則點H（x，x﹣3），再根據ABPC的面積S＝S△ABC+S△BCP即可求解．

（1）函數的對稱軸為：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x+c，

再將點C（0，﹣3）代入得到c=-3，

,∴拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，則x＝﹣1或3，

故點A、B的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）存在，理由：

如圖1，四邊形POP′C為菱形，則yP＝﹣OC＝﹣，

即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，

解得：x＝1（舍去負值），

故點P（1+，﹣）；

（3）過點P作PH∥y軸交BC于點P，

由點B、C的坐標得到直線BC的表達式為：y＝x﹣3，

設點P（x，x2﹣2x﹣3），則點H（x，x﹣3），

ABPC的面積S＝S△ABC+S△BCP

＝×AB×OC+×PH×OB

＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）

＝﹣x2+x+6，

=

∵-＜0，

∴當x=時，S有最大值為，此時點P（，﹣）．