Question

如圖，直線AB∥CD．
（1）在圖1中，∠BME、∠E，∠END的數(shù)量關(guān)系為：

∠E=∠BME+∠END

；（不需證明）
在圖2中，∠BMF、∠F，∠FND的數(shù)量關(guān)系為：

∠BMF=∠F+∠FND

；（不需證明）
（2）如圖3，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E與∠F互補(bǔ)，求∠FME的大小．
（3）如圖4中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變化，求∠FEQ的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BME=∠1，∠END=∠2，然后相加即可得解；先根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠3=∠FND，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)∠END=x°，∠BNE=y°，根據(jù)（1）的結(jié)論可得x+y=∠E，2x+∠F=y，然后消掉x并表示出y，再根據(jù)2∠E與∠F互補(bǔ)求出y，然后根據(jù)角平分線的定義求解即可；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論表示出∠MEN，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠FEN和∠ENP，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠NEQ=∠ENP，然后根據(jù)∠FEQ=∠FEN-∠NEQ整理即可得解．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BME=∠1，∠END=∠2，
∴∠1+∠2=∠BME+∠END，
即∠E=∠BME+∠END；
如圖2，∵AB∥CD，
∴∠3=∠FND，
∴∠BMF=∠F+∠3=∠F+∠FND，
即∠BMF=∠F+∠FND；
故答案為：∠E=∠BME+∠END；∠BMF=∠F+∠FND；

（2）如圖3，設(shè)∠END=x°，∠BNE=y°，
由（1）的結(jié)論可得x+y=∠E，2x+∠F=y，
消掉x得，3y=2∠E+∠F，
∵2∠E與∠F互補(bǔ)，
∴2∠E+∠F=180°，
∴3y=180°，
解得y=60°，
∵M(jìn)B平分∠FME，
∴∠FME=2y=2×60°=120°；

（3）由（1）的結(jié)論得，∠MEN=∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN=

1

2

∠MEN=

1

2

（∠BME+∠END），
∠ENP=

1

2

∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ=∠ENP，
∴∠FEQ=∠FEN-∠NEQ=

1

2

（∠BME+∠END）-

1

2

∠END=

1

2

∠BME，
∵∠BME=60°，
∴∠FEQ=

1

2

×60°=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，此類題目，過拐點(diǎn)作平行線是解題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系也很重要．