Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）直接寫出拋物線的解析式為：；

（2）點為第一象限內拋物線上的一動點，作軸于點，交于點，過點作的垂線與拋物線的對稱軸和軸分別交于點，，設點的橫坐標為．

①求的最大值；

②連接，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②，

【解析】

（1）將點，代入拋物線，求出b、c的值，繼而求出拋物線解析式；

（2）①先求出點C的坐標，由待定系數法求出直線BC的解析式，作軸于點，可得： ，由線段的和差可得：，代入數據得到二次函數，由二次函數的性質可知當，有最大值；

②作軸于點，記直線與軸交于點，易知，由等角對等邊可知：EN＝EF，OH＝ON，由拋物線的性質可得MG＝1，繼而可得HG＝，根據相似三角形的判定及其性質可得，，代入數據可得，在中，由勾股定理可得，可得一元二次方程，繼而解方程求解．

（1）將點，代入拋物線得：

解得：

故拋物線的解析式為：；

（2）①當時，

點，又點，

的解析式為：，

，

，

作軸于點，又，

，

，

，

化簡得：，

由題意有，且，，

當時，取最大值，

的最大值為

②作軸于點，記直線與軸交于點，

軸，軸，，

，

，

，

，的對稱軸為，

，，

，又∠EHF＝∠GHE，

，

，

在中，，

，

解得：或