Question

【題目】如圖（1），在中，，點分別是邊的中點，連接．

（1）如圖①，求的值；

（2）將繞點順時針旋轉到如圖（2）的位置時，的大小是否發生變化，若不變化，請說明理由；若發生變化，請求出它的值；

（3）將繞點順時針旋轉到直線的下方，且在同一直線上時，如圖（3），求線段的長．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析 （3）

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AC的值，因此，又因為，代入數值即可；

（2）無變化．根據旋轉的性質仍然成立，再證明△ACE∽△BCD，得出，又因為，因此，；

（3）當△EDC在BC下方，且A，E，D三點共線時，△ADC為直角三角形，利用勾股定理得出，再結合已知條件即可得出AE＝6，又因為，即可得出答案．

解：（1）在Rt△ABC中，，

∵AE=EC，BD=DC，∴ DE∥AB，

∴；

（2）無變化．

證明：在題圖①中，∵DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，∴，∠EDC＝∠B＝90°.

如題圖②，∵△EDC在旋轉過程中形狀大小不變，

∴仍然成立．

又∵∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴.

由（1）可知 .

∴，

∴，

∴的大小不變．

（3）當△EDC在BC下方，且A，E，D三點共線時，△ADC為直角三角形，

如圖③，由勾股定理可得.

又DE＝2，∴AE＝6.

∵，∴.