Question

【題目】（如圖（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為F．

（1）若點(diǎn)F剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長；

（2）若點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長；

（3）當(dāng)射線AF交線段CD于點(diǎn)G時(shí)，請直接寫出CG的最大值 .

Answer 1

【答案】（1）CE=；（2）CE＝；（3）CG的最大值是4－

【解析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出FE=EC ，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)而得出答案；（3）當(dāng)射線AF交線段CD于點(diǎn)G時(shí)求出即可.

解： ∵點(diǎn)F剛好落在線段AD的垂直平分線上，∴FB=FC．

∵折疊 ,∴FB=BC＝3．

∴△FBC是等邊三角形，∴∠FBC＝60°, ∠EBC＝30°．

在Rt△EBC，∴CE＝BC＝．

（2）如圖（1）∵點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線MN上,

∵折疊，∴FE=EC．

∴BM＝2，在Rt△MFB中，MF=．

∵△MBF∽△NFE，

∴＝．

∴CE＝EN＝．

如圖（2）∵折疊 ,∴FE=EC．

同理MF=，FN=3＋．

∵△MBF∽△NFE，∴＝．

∴CE＝EN＝．

（3）CG的最大值是4－．

“點(diǎn)睛”此題主要考查了垂直平分線、等邊三角形、矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形等知識；利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵.