Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=8,∠B=60，過平行四邊形的對稱中心點O的一條直線與邊AD、BC分別交于點E、F，設直線EF與BC的夾角為α。

（1）當α的度數是_________時，四邊形AFCE為菱形；

（2）當α的度數是_________時，四邊形AFCE為矩形；

（3）四邊形AFCE能否為正方形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）30；（3）不能

【解析】

（1）當α的度數是60°時，四邊形AFCE為菱形，首先證明四邊形AFCE、四邊形AFEB是平行四邊形，再證明△ABE是等邊三角形即可解決問題．

（2）當α的度數是30°時，四邊形AFCE為矩形，取BC中點M，連接AM，首先證明△ABM是等邊三角形，推出∠OCE=30°即可解決問題．

（3）不可能，只要證明AE≠AF即可解決問題．

（1）當α的度數是60°時，四邊形AFCE為菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO．

在△AOF和△COE中，∵，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF．

∵OA=OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AF=CE，AF∥BC，∴AF∥BE．

∵∠α=∠ABC=60°，∴AB∥EF，∴四邊形AFEB是平行四邊形，∴AF=BE=CE．

∵BC=8，AB=4，∴AB=BE=4．

∵∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=BE=CE．

∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴四邊形AFCE是菱形．

故答案為：60°；

（2）當α的度數是30°時，四邊形AFCE為矩形，理由如下：

同（1）得：四邊形AFCE是平行四邊形，取BC中點M，連接AM．

∵AB=BM=4，∠B=60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠AMB=60°，AM=BM=AB=CM，∴∠ACM=∠MAC=30°．

∵∠α=30°，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC．

∵OE=OF，OA=OC，∴AC=EF，∴四邊形AECF是矩形．

故答案為：30°．

（3）四邊形AECF不可能是正方形．

理由如下：如圖四邊形AFCE是矩形．

∵AB=4，BC=8，∠B=60°，∴在Rt△ABF中，AF=ABsin∠B=2，BF=ABcos60°=2，∴CF=BC﹣BF=8﹣2=6．

∵AF≠FC，∴四邊形AFCE不是正方形．