Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y＝t(t＜)上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．

(1)點A，B，D的坐標分別為　 　，　 　，　 　；

(2)如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內(含邊界)時，求t的取值范圍；

(3)如圖②，當t＝0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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Answer 1

【答案】（1）A（，0）；B（3，0）；D（，）；（2）≤t≤；（3）存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，點P的坐標為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．

【解析】

（1）利用二次函數圖像上的點的坐標特征可求得點A、B的坐標，再利用配方法即可找到拋物線的頂點坐標；

（2）由點D的坐標結合對稱找到點E的坐標，根據點B、C的坐標利用待定系數法確定直線BC函數關系式，再利用一次函數圖像上的坐標特征即可得出關于t的一元一次不等式組，解之即可得出t的取值范圍；

（3）假設存在，設點P的坐標為（，0），則點Q的橫坐標為m，分或及三種情況，利用勾股定理找出關于m的一元二次方程，解出即可得出m的值，進而可找出點P的坐標.

解：（1）當y=0時，﹣x2+x﹣1=0，

解得x1=,x2=3,

∴點A的坐標為（，0），點B的坐標為（3,0），

∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x-）2+,

∴點D的坐標為（，）；

（2）∵點E、點D關于直線y=t對稱，

∴點E的坐標為（，2t﹣）．

當x=0時，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴點C的坐標為（0，﹣1）．

設線段BC所在直線的解析式為y=kx+b，

將B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

，解得：，

∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1．

∵點E在△ABC內（含邊界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）當x＜或x＞3時，y=﹣x2+x﹣1；

當≤x≤3時，y=﹣x2+x﹣1．

假設存在，設點P的坐標為（m，0），則點Q的橫坐標為m．

①當m＜或m＞3時，點Q的坐標為（m，﹣x2+x﹣1）（如圖1），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，

即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，

整理，得：m1=，m2=，

∴點P的坐標為（，0）或（，0）；

②當≤m≤3時，點Q的坐標為（m,x2-x +1）（如圖2），

∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，

∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，

整理，得：11m2﹣28m+12=0，

解得：m3=，m4=2，

∴點P的坐標為（，0）或（1，0）．

綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，點P的坐標為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．