Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交點，拋物線經過，兩點，與軸交于另一點．如圖1，點為拋物線上任意一點，過點作軸交于．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當是直角三角形時，求點坐標；

（3）如圖2，作點關于直線的對稱點，作直線與拋物線交于，設拋物線對稱軸與軸交點為，當直線經過點時，請你直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或;(3) 2．

【解析】

(1)先求出A、C點的坐標，然后用待定系數法確定拋物線的解析式即可；

（2）設，則，然后就P在BC上方和下方分別解答即可；

（3）由題意得B、C兩點的坐標分別為（4,0）和（0,2），求得M和Q的坐標，得出直線QM的解析式，進而確定E、F兩點的橫坐標和縱坐標；然后過點E做垂直于x軸的直線交點為H，過點F做垂直于y軸的直線，交于點G ，證得△EQH∽△EFG和△MQJ∽△EQH，然后運用相似三角形的性質列出方程解答即可.

解：（1）在中，當時，當時，∴、

∵拋物線的圖象經過，兩點

∴

∴

∴拋物線的解析式為

（2）設，則

①當在的上方時，

，

若，

∵軸，可得軸

∴

∴

在中

∴在中，

∴

∴或（舍去）

∴點坐標

②當在的下方時，過作于．

若，

∴

∴在中，

∴．

∴或（舍去）

∴點坐標

∴當是直角三角形時，點坐標為或．

（3）設BC直線為y=kx+b，

有 解得導，

∴直線BC為

拋物線的解析式可化為： ，

∴點Q坐標為（1,0）

∵PM⊥x軸

∴點M橫坐標即為點P橫坐標，為2

又∵點M在直線BC上，有=1

∴點M坐標為（2,1）

設過點Q、M直線為y=k2x+b2，

則有 ，解得

∴ QM直線為y=x-1

由解得

∴E、F橫坐標別為Ex=，Fx=

又∵點E、F在QM直線上，

∴點E、F別坐標為Ey=，Fy=

過點E作垂直于x軸的直線交點為H，過點F作垂直于y 軸的直線，交于點G

∵EH⊥x軸，FG⊥y軸

∴EH⊥FG,G點坐標為（Ex，Fy）

∴∠EHQ=∠EGF=90°

又∵∠EQH=∠EFG

△EQH∽△EFG

過點M作垂直于x軸的直線交點為J

同理可得△MQJ∽△EQH，

∴△EQH∽△EFG△MQJ，

∴

∴

∴EF=×=2