【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=8，DF=3FC，則BC=__________.
【答案】6
+2．
【解析】
先延長EF和BC，交于點G，再根據條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長，然后根據條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據△EFD∽△GFC得出比例式，DF=3FC計算得出CG與DE的倍數關系，并根據BG=BC+CG進行計算即可．
解：延長EF和BC，交于點G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于；
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=8，
∴直角三角形ABE中，BE=8，
又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=8，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∵DF=3FC，
設CG=x，DE=3x，則AD=8+3x=BC
∵BG=BC+CG
∴8=8+3x+x
解得x=2-2，
∴BC=8+3（2-2）=6+2，
故答案為：6+2．
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得點O在邊AB上，且⊙O經過B、D兩點；并證明AC與⊙O相切．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
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【題目】在平面直角坐標系x0y中,對于圖形G,若存在一個正方形γ,這個正方形的某條邊與x軸垂直,且圖形G上的所有的點都在該正方形的內部或者邊上,則稱該正方形γ為圖形G的一個正覆蓋.很顯然,如果圖形G存在一個正覆蓋,則它的正覆蓋有無數個,我們將圖形G的所有正覆蓋中邊長最小的一個,稱為它的緊覆蓋.如圖所示,圖形G為三條線段和一個圓弧組成的封閉圖形,圖中的三個正方形均為圖形G的正覆蓋,其中正方形ABCD就是圖形G的緊覆蓋.
(1)對于半徑為2的⊙0,它的緊覆蓋的邊長為 .
(2)如圖1,點P為直線y=-2x+3上一動點,若線段OP的緊覆蓋的邊長為2,求點P的坐標;
(3)如圖2,直線y=3x+3與x軸,y軸分別交于A,B,
①以0為圓心,r為半徑的⊙0與線段AB有公共點,且由⊙0與線段AB組成的圖形G的緊覆蓋的邊長小于4,直接寫出r的取值范圍;
②若在拋物線y=ax2+2ax-2(a≠0)上存在點C,使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】如圖，Rt△FHG中，
H=90°，FH∥x軸，
，則稱Rt△FHG為準黃金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函數
的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點E（0，
），頂點為C（1，
），點D為二次函數
圖像的頂點.
（1）求二次函數y1的函數關系式；
（2）若準黃金直角三角形的頂點F與點A重合、G落在二次函數y1的圖像上，求點G的坐標及△FHG的面積；
（3）設一次函數y=mx+m與函數y1、y2的圖像對稱軸右側曲線分別交于點P、Q. 且P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點F、G重合，求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點的四邊形形狀，請說明理由.
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【題目】如圖1，AD、BD分別是△ABC的內角∠BAC、∠ABC的平分線，過點A作AE⊥AD，交BD的延長線于點E.
（1）求證：∠E=
∠C；
（2）如圖2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是銳角，且△ABC與△ADE相似，求∠ABC的度數.
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【題目】小李在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考，請你幫他完成如下問題：
（1）他認為該定理有逆定理：“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形”應該成立.即如圖①，在
中，
是
邊上的中線，若
，求證：
.
（2）如圖②，已知矩形
，如果在矩形外存在一點
，使得
，求證：
.（可以直接用第（1）問的結論）
（3）在第（2）問的條件下，如果
恰好是等邊三角形，請求出此時矩形的兩條鄰邊
與的數量關系.
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【題目】定義：點P在△ABC的邊上，且與△ABC的頂點不重合．若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個三角形與△ABC相似（但不全等），則稱點P為△ABC的自相似點．如圖①，已知點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（0，1）．
（1）若點P的坐標為（2，0），求證點P是△ABC的自相似點；
（2）求除點（2，0）外△ABC所有自相似點的坐標；
（3）如圖②，過點B作DB⊥BC交直線AC于點D，在直線AC上是否存在點G，使△GBD與△GBC有公共的自相似點？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．
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【題目】某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角
（兩邊足夠長），用
長的籬笆圍成一個矩形
花園（籬笆只圍
、
兩邊）.
（1）若圍成的花園面積為
，求花園的邊長；
（2）在點
處有一顆樹與墻
，
的距離分別為
和
，要能將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），又使得花園面積有最大值，求此時花園的邊長.
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