Question

【題目】如圖，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x軸，，則稱Rt△FHG為準黃金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點E（0，），頂點為C（1，），點D為二次函數圖像的頂點.

（1）求二次函數y1的函數關系式；

（2）若準黃金直角三角形的頂點F與點A重合、G落在二次函數y1的圖像上，求點G的坐標及△FHG的面積；

（3）設一次函數y=mx+m與函數y1、y2的圖像對稱軸右側曲線分別交于點P、Q. 且P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點F、G重合，求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點的四邊形形狀，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=(x-1)2-4；（2）點G坐標為（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四邊形CDPQ為平行四邊形，理由見解析.

【解析】

（1）利用頂點式求解即可,（2）將G點代入函數解析式求出坐標,利用坐標的特點即可求出面積,（3）作出圖象,延長QH，交x軸于點R，由平行線的性質得證明△AQR∽△PHQ,設Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可證明四邊形CDPQ為平行四邊形.

（1）設二次函數的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由題可知該拋物線與y軸交于點E（0，），頂點為C（1，），

∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,

（）

（2）設G[a,0.6(a+1)],代入函數關系式，

得，，

解得a1=3.6，a2=-1（舍去），

所以點G坐標為（3.6,2.76）.

S△FHG=6.348

（3）y=mx+m=m（x+1），

當x=-1時，y=0，

所以直線y=mx+m

延長QH，交x軸于點R，

由平行線的性質得，QR⊥x軸.

因為FH∥x軸，

所以∠QPH=∠QAR,

因為∠PHQ=∠ARQ=90°，

所以△AQR∽△PQH,

所以 =0.6,

設Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，

mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），

因為n+1≠0，

所以m=0.6..

因為y2=（x-1-m）2+0.6m-4,

所以點D由點C向右平移m個單位，再向上平移0.6m個單位所得，

過D作y軸的平行線,交x軸與K,再作CT⊥KD,交KD延長線與T,

所以=0.6,

所以tan∠KSD=tan∠QAR，

所以∠KSD=∠QAR，

所以AQ∥CS，即CD∥PQ.

因為AQ∥CS，由拋物線平移的性質可得，CT=PH,DT=QH,

所以PQ=CD，

所以四邊形CDPQ為平行四邊形.