Question

【題目】定義：點P在△ABC的邊上，且與△ABC的頂點不重合．若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個三角形與△ABC相似（但不全等），則稱點P為△ABC的自相似點．如圖①，已知點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（0，1）．

（1）若點P的坐標為（2，0），求證點P是△ABC的自相似點；

（2）求除點（2，0）外△ABC所有自相似點的坐標；

（3）如圖②，過點B作DB⊥BC交直線AC于點D，在直線AC上是否存在點G，使△GBD與△GBC有公共的自相似點？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△CPA∽△CAB，此時P（，）；△BPA∽△BAC，此時P(，)；（3）S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點，見解析

【解析】

（1）利用：兩邊對應成比例且夾角相等,證明△APC∽△CAB即可；

（2）分類討論：△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC，分別求得P點的坐標；

（3）先求得點D的坐標，說明點G（5，）、S（3，-2）在直線AC：上，證得△ABC△SGB，再證得△GBS∽△GCB，說明點S是△GBC的自相似點；又證得△DBG△DSB，說明點S是△GBD的自相似點．從而說明S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點.

（1）如圖，

∵A（1，0），B（3，0），C（0，1），P（2，0），

∴AP=2－1＝1，

AC=，

AB=3-1=2，

∴，，

∴=，

∵∠PAC=∠CAB，

∴△APC∽△CAB，

故點P是△ABC的自相似點；

（2）點P只能在BC上，

①△CPA∽△CAB，如圖，

由(1)得：AC，AB，

又，

∵△CPA∽△CAB，

∴，

∴，

∴，

過點P作PD∥y軸交軸于D，

∴，，

∴，，

∴，，

P點的坐標為(，)

②△BPA∽△BAC，如圖，

由前面獲得的數據：AB，，

∵△BPA∽△BAC，

∴，

∴，

∴，

過點P作PE∥y軸交軸于E，

∴，

∴，

∴，，

∴，

P點的坐標為(，)；

（3）存在．當點G的坐標為（5，）時，△GBD與△GBC公共的自相似點為S（3，）．理由如下：

如圖：

設直線AC的解析式為：，
∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：，

過點D作DE⊥x軸于點E，
∵∠CBO+∠DBE=90，∠EDB+∠DBE=90，

∴∠CBO=∠EDB，

∴，

∴，

設BE=a，則DE=3a，

∴OE=3-a，

∴點D的坐標為(3-a，-3a) ，

∵點D在直線AC上，

∴，

解得：，

∴點D的坐標為(，) ；

如下圖：當點G的坐標為（5，）時，△GBD與△GBC公共的自相似點為S（3，）．

直線AC的解析式為：，
∵，，

∴點G、點S在直線AC上，

過點G作GH⊥x軸于點H，

∵，

∴，

由S（3，）、B（3，0）知BS⊥x軸，

∴△AED、△ABS、△AHG為等腰直角三角形，

∵D (，)，S，G( ，

∴，，B，

，

，，

，，，

，

在△ABC和△SGB中

∵，，

∴，

∵

∴

∴△ABC△SGB

∴∠SBG=∠BCA，

又∠SGB=∠BGC，

∴△GBS∽△GCB，

∴點S是△GBC的自相似點；

在△DBG和△DSB中，

∵，，

∴，且，

∴△DBG△DSB；

∴點S是△GBD的自相似點．

∴S（3，）是△GBD與△GBC公共的自相似點．