Question

【題目】已知：關于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0
（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出此時方程的根；
（2）是否存在實數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2+（8﹣4m）x+4m2=0有兩個相等實根，

∴△=（8﹣4m）2﹣4×1×4m2=64﹣64m=0，

解得：m=1，

∴原方程為x2+4x+4=0，

解得：x1=x2=﹣2．

答：m的值為1，此方程的根為﹣2

（2）解：假設存在，設方程兩根為x1，x2，

則有x1+x2=4m﹣8，x1x2=4m2，

∴ = ﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=136，

解得：m1=﹣1，m2=9．

∵方程有實數根，

∴△=（8﹣4m）2﹣4×1×4m2=64﹣64m≥0，

∴m≤1，

∴m的值為﹣1．

【解析】（1）根據方程有兩個相等的實數根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，再將其代入原方程解方程即可求出方程的根；（2）假設存在，設方程兩根為x1 ， x2 ， 根據根與系數的關系可得出x1+x2=4m﹣8、x1x2=4m2 ， 結合 =136即可得出關于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再由方程有解即可得出△=64﹣64m≥0，解不等式即可確定m的值，此題得解．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和根與系數的關系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能得出正確答案．