Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝m（m為常數），點C為的中點，點D為圓上一動點，過A點作⊙O的切線交BD的延長線于點P，弦CD交AB于點E．

（1）當DC⊥AB時，則＝　 　；

（2）①當點D在上移動時，試探究線段DA，DB，DC之間的數量關系；并說明理由；

②設CD長為t，求△ADB的面積S與t的函數關系式；

（3）當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①DA+DB＝DC，②S＝t2﹣m2 ；（3）.

【解析】

（1）首先證明當DC⊥AB時，DC也為圓的直徑，且△ADB為等腰直角三角形，即可求出結果；

（2）①分別過點A，B作CD的垂線，連接AC，BC，分別構造△ADM和△BDN兩個等腰直角三形及△NBC和△MCA兩個全等的三角形，容易證出線段DA，DB，DC之間的數量關系；

②通過完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DADB的變形及將已知條件AB＝m代入即可求出結果；

（3）通過設特殊值法，設出PD的長度，再通過相似及面積法求出相關線段的長度，即可求出結果．

解：（1）如圖1，∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵C為的中點，

∴，

∴∠ADC＝∠BDC＝45°，

∵DC⊥AB，

∴∠DEA＝∠DEB＝90°，

∴∠DAE＝∠DBE＝45°，

∴AE＝BE，

∴點E與點O重合，

∴DC為⊙O的直徑，

∴DC＝AB，

在等腰直角三角形DAB中，

DA＝DB＝AB，

∴DA+DB＝AB＝CD，

∴＝；

（2）①如圖2，過點A作AM⊥DC于M，過點B作BN⊥CD于N，連接AC，BC，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，

∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，

∴∠NBC＝∠MCA，

在△NBC和△MCA中，

，

∴△NBC≌△MCA（AAS），

∴CN＝AM，

由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，

AM＝DA，DN＝DB，

∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），

即DA+DB＝DC；

②在Rt△DAB中，

DA2+DB2＝AB2＝m2，

∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DADB，

且由①知DA+DB＝DC＝t，

∴（t）2＝m2+2DADB，

∴DADB＝t2﹣m2，

∴S△ADB＝DADB＝t2﹣m2，

∴△ADB的面積S與t的函數關系式S＝t2﹣m2；

（3）如圖3，過點E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，

則NE＝ME，四邊形DHEG為正方形，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴AB＝AC，

∵，

設PD＝9，則AC＝20，AB＝20，

∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴，

∴DB＝16，

∴AD＝＝12，

設NE＝ME＝x，

∵S△ABD＝ADBD＝ADNE+BDME，

∴×12×16＝×12x+×16x，

∴x＝，

∴DE＝HE＝x＝，

又∵AO＝AB＝10，

∴．