Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH⊥BC于點H，作MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+ （3）

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標，在Rt△BOC中由三角函數定義可求得∠OCB=60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函數的定義可求得OA，則可求得A點坐標；

（2）由A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（3）由平行線的性質可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函數的定義可得到DH、MH與DM的關系，可設出M點的坐標，則可表示出DM的長，從而可表示出△DMH的周長，利用二次函數的性質可求得其最大值．

試題解析： （1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，

∴B（3，0），C（0，），

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；

（3）∵MD∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴當DM有最大值時，其周長有最大值，

∵點M是直線BC上方拋物線上的一點，

∴可設M（t，﹣ t2+t+），則D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+ ，

∴當t=時，DM有最大值，最大值為，

此時DM=×=，

即△DMH周長的最大值為．