Question

【題目】如圖①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA＝DF.

(1)求證：△FBD≌△ACD；

(2)延長BF交AC于點E，且BE⊥AC，求證：CE＝BF；

(3)在(2)的條件下，H是BC邊的中點，連接DH，與BE相交于點G，如圖②. 試探索CE，GE，BG之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）∵，

又∵；

∴，--------------------------3分

（2）∴，∴

又∵平分，∴

又∵，∴，

又∵

∴，∴

∴----------------------------- 7分

（3），,之間的數量關系為：

連結CG，∵，H是邊的中點，

∴是的中垂線，

∴在中有：

∴-------------------------------------------------10分

【解析】

（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，與已知DA=DF通過SAS證得△FBD≌△ACD；
（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通過ASA證得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=AC，從而得出結論；
（3）連接CG，由H是BC邊的中點和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG2=CE2+GE2，從而得出CE，GE，BG的關系．

(1)證明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.

在△FBD和△ACD中，

∴△FBD≌△ACD(SAS)．

(2)證明：∵BE⊥AC，

∴∠BEA＝∠BEC＝90°.

∵BF平分∠DBC，

∴∠ABE＝∠CBE，

又∵BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE(ASA)，

∴AE＝CE.

∴CE＝AC.

由(1)知△FBD≌△ACD，

∴BF＝CA，

∴CE＝BF.

(3)解：BG2＝GE2＋CE2.證明如下：連接CG，

∵H是BC邊的中點，BD＝CD，

∴HD垂直平分BC，

∴BG＝CG(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等)．

∵BE⊥AC，

∴在Rt△CEG中，CG2＝GE2＋CE2，

∴BG2＝GE2＋CE2.