Question

【題目】已知二次函數y＝x2+bx+c（b，c為常數）．

（Ⅰ）當b＝2，c＝﹣3時，求二次函數的最小值；

（Ⅱ）當c＝5時，若在函數值y＝1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，求此時二次函數的解析式；

（Ⅲ）當c＝5時，在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為﹣5，求b的值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-4；（Ⅱ）y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用配方法得到y＝（x+1）2﹣4，然后根據二次函數的性質解決問題；

（Ⅱ）二次函數解析式為y＝x2+bx+5，把問題轉化為x2+bx+5＝1有兩個相等的實數解，然后根據判別式的意義確定b的值，從而得到此時二次函數的解析式；

（Ⅲ）利用配方法得到y＝（x+）2+5﹣，則拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，討論：若﹣≤1，根據二次函數的性質得到x＝1時，y＝﹣5，把這組對應值代入解析式求得的b不滿足條件；若1＜﹣＜3，利用二次函數的性質當x＝﹣時5﹣＝﹣5，求得的b不滿足條件；若﹣≥3，解得b≤﹣6，利用二次函數的性質得到x＝3時，y＝﹣5，把這組對應值代入解析式可求出b的值．

解：（Ⅰ）當b＝2，c＝﹣3時，二次函數解析式為y＝x2+2x﹣3，

∵y＝（x+1）2﹣4，

∴當x＝﹣1時，y有最小值﹣4；

（Ⅱ）當c＝5時，二次函數解析式為y＝x2+bx+5，

∵在函數值y＝1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，

∴x2+bx+5＝1有兩個相等的實數解，

方程整理為x2+bx+4＝0，

∵△＝b2﹣4×4＝0，解得b＝4或﹣4，

∴此時二次函數的解析式為y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；

（Ⅲ）當c＝5時，二次函數解析式為y＝x2+bx+5，

∵y＝（x+）2+5﹣，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，

若﹣≤1，解得b≥﹣2，在1≤x≤3范圍內y隨x的增大而增大，則x＝1時，y＝﹣5，

∴1+b+5＝﹣5，解得b＝﹣11（舍去）；

若1＜﹣＜3，即﹣6＜b＜﹣2，在1≤x≤3范圍內，當x＝﹣時y有最小值﹣5，即5﹣＝﹣5，解得b＝﹣2（舍去）或b＝2（舍去）；

若﹣≥3，解得b≤﹣6，在1≤x≤3范圍內y隨x的增大而減下，則x＝3時，y＝﹣5，

∴9+3b+5＝﹣5，解得b＝﹣；

綜上所述，b的值為﹣.