Question

13．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O．
（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設（1）中的相似比為k，若AD：BC=2：3．請探究：當k為下列三種情況時，四邊形ABPE是什么四邊形？
①當k=1時，是平行四邊形；
②當k=2時，是直角梯形；
③當k=3時，是等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）根據兩角對應相等兩三角形相似即可證明．
（2）①四邊形ABPE是平行四邊形，只要證明AE=BP即可．
②四邊形ABPE是直角梯形，只要證明∠BPE=90°即可．
③四邊形ABPE是等腰梯形，只要證明AB=PE即可．

解答 （1）證明：∵AE∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠OFB，
∴△BOP∽△DOE．

（2）解：①如圖1中，

∵AE=ED，k=1，
∴AE=ED=BP，
∵AE∥PB，
∴四邊形ABPE是平行四邊形．
故答案為平行四邊形．

②如圖2中，

∵AE=DE，k=2，
∴PB=2ED=2AE，
∵AD：BC=2：3，
∴PC=DE，∵DE∥PC，
∴四邊形CDEP是平行四邊形，∵∠C=90°，
∴四邊形CEEP是矩形，
∴∠EPB=∠EPC=90°，∵AE∥PB，AE≠PB，
∴四邊形ABPE是直角梯形．
故答案為直角梯形．

③如圖③中，作BM⊥AD于M．

∵AE=DE，AD：BC=2：3，k=3，
∴PB=3DE，
∵BC=3DE，
∴點P與C重合，
∵∠M=∠BCD=∠BDM=90°，
∴四邊形BCDM是矩形，
∴BM=DC，DM=BC，∵BC=3DE，AE=DE，
∴AM=DE，∵∠M=∠CDE=90°，
∴△ABM≌△ECD，
∴AB=EC，
∴四邊形ABPE是等腰梯形．
故答案為等腰梯形．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定、直角梯形的判定．等腰梯形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．