Question

【題目】（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG，G在AD邊上，E在CD的延長線上．求證：AE=CG，AE⊥CG；

（2）如圖2，若將圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉角度θ（0°＜θ＜90°），此時AE=CG還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，當正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°時，延長CG交AE于點H，當AD=4，DG=時，求線段CH的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直；

（2）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直；

（3）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直，然后用勾股定理計算出CM，AM最后用相似即可．

試題解析：（1）在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG，∠AED=∠CGD，

∵∠DCG+∠CGD=90°，

∴∠DCG+∠AED=90°，

∴AE⊥CG．

（2）∵∠CDG+∠ADG=90°，∠ADE+∠ADG=90°，

∴∠CDG=∠ADE

在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG，∠AED=∠CGD，

∵∠DCG+∠CGD=90°，

∴∠DCG+∠AED=90°，

∴AE⊥CG．

（3）如圖，

過點E作AD的垂線，垂足為N，連接AC，

在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠EAD=∠DCM

∴tan∠DCM=，

∴DM=CD=

∴CM==，AM=AD﹣DM=

∵△CMD∽△AMH，

∴，

∴AH=，

∴CH==．