Question

【題目】定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經過的頂點．設的對稱軸分別交于點，點是點關于直線的對稱點．

（1）如圖1，若：，經過變換后，得到：，點的坐標為，則①的值等于______________；

②四邊形為（ ）

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如圖2，若：，經過變換后，點的坐標為，求的面積；

（3）如圖3，若，經過變換后，，點是直線上的動點，求點到點的距離和到直線的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）-2；D；（2）2；（3）．

【解析】

試題分析：（1）已知F2的解析式，把已知坐標代入即可得出b的值；

（2）在（1）的基礎上求出S△ABD；

（3）要分情況討論點C在點A的左邊還是右邊，作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．

試題解析：（1）-2；D；

（2）∵F2：y=a（x-2）2+c-1，

而A（0，c）在F2上，可得a=．

∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，

∴S△ABD=2；

（3）當點C在點A的右側時（如圖1），

設AC與BD交于點N，

拋物線y=x2-x+，配方得y=（x-1）2+2，

其頂點坐標是A（1，2），

∵AC=2，

∴點C的坐標為（1+2，2）．

∵F2過點A，

∴F2解析式為y=（x-1-）2+1，

∴B（1+，1），

∴D（1+，3）

∴NB=ND=1，

∵點A與點C關于直線BD對稱，

∴AC⊥DB，且AN=NC

∴四邊形ABCD是菱形．

∴PD=PB．

作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH．

要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，

此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h．

∵DN=1，AN=，DB⊥AC，

∴∠DAN=30°，

故△ABD是等邊三角形．

∴h=AD=∴最小值為．

當點C在點A的左側時（如圖2），同理，最小值為．

綜上，點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為．