Question

【題目】如圖，BE是圓O的直徑，A在EB的延長線上，AP為圓O的切線，P為切點，弦PD垂直于BE于點C．

（1）求證：∠AOD=∠APC；

（2）若OC：CB=1：2，AB=6，求圓O的半徑及tan∠APB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OP，可結合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性質進行證明；

（2）根據OC、BC的比例關系，可用未知數表示出OC、BC的表達式，進而可得OP、OB的表達式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根據射影定理得：PC2=PCAC，PC2的表達式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知數的知，從而確定PC、CE的長，也就能求出⊙O的半徑和∠APB的正切值．

試題解析：（1）連接OP，

∵OP=OD，∴∠OPD=∠D，

∵PD⊥BE，

∴∠OCD=90°，

在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，

又∵AP是⊙O的切線，

∴AP⊥OP，

則∠OPD+∠APC=90°，

∴∠AOD=∠APC；

（2）連接PE，

∴∠BPE=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∵AP是⊙O的切線，

∴∠APB=∠OPE=∠PEA，

∵OC：CB=1：2，

∴設OC=x，則BC=2x，OP=OB=3x，

在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：

PC2=OP2﹣OC2=8x2，

在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：

PC2=OCAC，即8x2=x（2x+6），6x2=6x，

解得x=0（舍去），x=1，

∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，

∴tan∠APB=tan∠PEC=，

∴⊙O的半徑為3，∠APB的正切值是．