Question

【題目】已知：如圖1，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，點D為頂點．

求拋物線解析式及點D的坐標；

若直線l過點D，P為直線l上的動點，當以A、B、P為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式；

如圖2，E為OB的中點，將線段OE繞點O順時針旋轉得到，旋轉角為，連接、，當取得最小值時，求直線與拋物線的交點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

由拋物線的交點式可知拋物線的解析式為，通過整理可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可得到拋物線的定點坐標；

過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點以為直徑的如果與直線l相交，那么就有2個點Q；如果圓與直線l相切，就只有1個點了，以AB為直徑作，作QD與相切，則，過作，先求得點的坐標，于是可求得l的解析式，由圖形的對稱性可知點的坐標還可以是，然后可求得另一種情況；

取使，連接，接下來，證明∽，從而可得到，故此當、、在一條直線上時，有最小值，最后，依據勾股定理求得的長度即可．

拋物線與x軸交于，兩點，

．

，

拋物線的頂點坐標為．

過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點Q．

以AB為直徑的如果與直線l相交，那么就有2個點Q；如果圓與直線l相切，就只有1個點Q了．

如圖所示：以AB為直徑作，作QD與相切，則，過Q作．

，，

．

．

又，

．

，

，

．

點Q的坐標為．

設l的解析式為，則，解得：，，

直線l的解析式為．

由圖形的對稱性可知：當直線l經過點時，直線l與相切，

則，

解得：，，

直線l的解析式為．

綜上所述，直線l的解析式為或．

如圖所示：取M使，連接．

，，，

，

．

又，

∽，

．

．

，

當M、、B在一條直線上時，有最小值，

的最小值．