Question

（2013•常熟市模擬）如圖，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10）（8，4），點C在第一象限，且CE⊥x軸于E點，動點P在正方形ABCD的邊上，從A出發(fā)沿A-B-C-D以每秒1個單位的速度作勻速運動，同時點Q（1，0）以相同的速度在x軸上沿正方向運動，當P點到達D點時，兩點同時停止，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當點Q運動至（20.5，0）時，則動點P在

BC

邊上；
（2）求正方形點C坐標；
（3）問是否存在t（0≤t≤10）值，使△OPQ的面積最大？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得出正方形的邊長，結(jié)合P，Q點的速度，分析可得答案；
（2）在Rt△AFB中，過點C作CE⊥x軸于點E，與FB的延長線交于點H，易得△ABF≌△BCH，進而可得C得坐標；
（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，易得△APM∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

，設(shè)△OPQ的面積為S，計算可得答案．

解答：解：（1）過點B作BF⊥y軸于點F，
根據(jù)題意，AF=10-4=6，BF=8，
∴AB=

82+62

=10，
∴當點Q運動至（20.5，0）時，運動時間為：20.5-1=19.5（秒），
∴動點P在BC邊上；

（2）過點C作CE⊥x軸于點E，與FB的延長線交于點H．
∵∠ABC=90°=∠AFB=∠BHC
∴∠ABF+∠CBH=90°，∠ABF=∠BCH，∴∠FAB=∠CBH，
在△ABF和△BCH中

∠BFA=∠CHF ∠HBC=∠FAB AB=BC

，
∴△ABF≌△BCH（AAS）．
∴AF=BH=6，CH=BF=8，
∴OE=FH=8+6=14，CE=8+4=12．
∴所求C點的坐標為（14，12）．

（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，
則△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

．
∴

t

10

=

AM

6

=

MP

8

．
∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t．
∴PN=OM=10-

3

5

t，ON=PM=

4

5

t．
∵開始時Q（1，0），動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，
∴OQ=1+t，
設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位）
∴S=

1

2

×（10-

3

5

t）（1+t）=5+

47

10

t-

3

10

t2（0≤t≤10）
∵a=-

3

10

＜0
∴當t=

- 47 10

2×(- 3 10 )

=

47

6

時，△OPQ的面積最大．
故答案為：BC．

點評：此題主要考查了相似形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，要熟練掌握相似的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，并能夠?qū)⑺麄兣c二次函數(shù)的應(yīng)用有效的結(jié)合起來；解決此類問題，注意數(shù)形結(jié)合得思想的運用．