Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB交弦ED于點G，EG=DG，⊙O的切線BC交DO的延長線于點C，F是DC與⊙O的交點，連結AF．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF= ， 求AF的長．

Answer 1

【答案】解：（1）∵直徑AB交弦ED于點G，EG=DG，
∴AB⊥ED，
∵BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC，
∴DE∥BC；
（2）連接BF，BD，
∵OD=1，CF=，
∴CD=OD+CF=，
∵BC是⊙O的切線，
∴BC2=CFCD=×=，
∴BC=，
∵∠CBF=∠CDB，∠BCF=∠DCB，
∴△CBF∽△CDB，
∴==3，
∴BD=3BF，
∵AF=BD，
∴AF=3BF，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2 ，
∴AB=2OD=2，
∴AF2+（AF）2=22 ，
∴AF=．

【解析】（1）根據垂徑定理和切線的性質定理就可證得；
（2）連接BF，BD，根據切線長定理就可求得BC，進而根據三角形相似求得BD=BF，然后根據勾股定理就可求得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．