Question

【題目】已知a、b、c在數軸上的位置如圖所示，回答下列問題：

（1）化簡：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；

（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x滿足什么條件時，y有最小值，求最小值

Answer 1

【答案】（1）a﹣2b﹣3c；（2）當x=a時y有最小值是b﹣c．

【解析】

（1）從數軸上的標示可知c＜0＜a＜b，由此去掉絕對值符號化簡即可；

（2）分區間進行去絕對值化簡比較即可．

解：（1）根據數軸上的標示知，c＜0＜a＜b，

∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，

∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b

＝a﹣2b﹣3c；

（2）①當x≤c時，

y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，

因為該函數為減函數，所以當且僅當x＝c時最小，最小值為：a+b﹣2c，

②當c≤x≤a時，

y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+b﹣c，

因為該函數為減函數，所以當且僅當x＝a時最小，最小值為：b﹣c，

③當a≤x≤b時，

y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，

因為該函數為增函數，所以當且僅當x＝a時最小，最小值為：b﹣c，

④當x≥b時，

y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，

因為該函數為增函數，所以當且僅當x＝b時最小，最小值為：2b﹣a﹣c，

從以上討論中可知，當x=a時y的值是b﹣c，小于其他最小值，

所以當=a時y有最小值是b﹣c．

故答案為：（1）a﹣2b﹣3c；（2）當x=a時y有最小值是b﹣c．