Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣4）2=0.

（1）求a，b的值．
（2）在坐標軸上是否存在一點M，使△COM的面積= △ABC的面積，求出點M的坐標．
（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上的一動點，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當點P運動時， 的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵|a+2|+（b﹣4）2=0，

|a+2|≥0，（b﹣4）2≥0，

∴a=﹣2，b=4．

（2）

解：由（1）可知A（﹣2，0），B（4，0），

①當M在x軸上時，設M（m，0），

由題意： |m|2= 62，

∴m=±3，

∴M（3，0）或（﹣3，0）．

②當M在y軸上時，設M（0，m），

由題意： |m|1= 62，

∴m=±6，

∴M（6，0）或（0，﹣6），

綜上所述，滿足條件的點M坐標為（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）．

（3）

解：如圖2中，結論： 的值是定值， =2．

理由：∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°，

∴∠AOE+∠FOG=90°，

∵∠AOE=∠EOP，∠EOP+∠POF=90°，

∴∠FOG=∠POF，

∵∠DOE+∠AOE=90°，∠AOE+∠FOG=90°，

∴∠DOE=∠FOG，

∵CP∥AG，

∴∠OPD=∠POG=2∠FOG，

∴∠OPD=2∠FOG，

∴ =2．

【解析】（1）根據非負數的性質即可解決問題．（2）分兩種情形討論①當M在x軸上時，設M（m，0），由題意： |m|2= 62．②當M在y軸上時，設M（0，m），由題意： |m|1= 62，解方程即可解決問題．（3）結論： 的值是定值．只要證明∠DOE=∠FOG，∠OPD=2∠FOG即可．
【考點精析】關于本題考查的三角形的“三線”和三角形三邊關系，需要了解1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊才能得出正確答案．