Question

【題目】如圖，點P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.

(1)求證：△PMN是等邊三角形；

(2)若AB＝9 cm，求CM的長度．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）CM＝3cm

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C，進而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根據平角的意義即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；
（2）易證得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，從而求得BM+PB=AB=9cm，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出2PB=BM，即可求得PB的長，進而得出CM的長．

解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等邊三角形；
（2）根據題意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴CM=3cm．