Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是直線AB上的一動點（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F．

（1）點D在邊AB上時，試探究線段BD，AB和AF的數量關系，并證明你的結論；

（2）點D在AB的延長線上時，試探究線段BD，AB和AF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AB＝FA+BD，證明詳見解析；（2）點D在AB的延長線上時，AB＝AF﹣BD，理由詳見解析；點D在AB的反向延長線上時，AB= BD-AF，理由見解析.

【解析】

（1）由余角的性質可證∠FBA=∠FCE，根據“ASA”證明△FAB≌△DAC，可得FA=DA，從而可得到AB=AD+BD=FA+BD；

（2）分兩種情況求解：①點D在AB的延長線上時，②點D在AB的反向延長線上時，畫出圖形并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題.

解：（1）AB＝FA+BD．

證明：如圖1，

∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，

∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°．

∴∠FBA＝∠FCE．

∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，

∴∠FAB＝∠DAC．

在△FAB和△DAC中，

．

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA＝DA．

∴AB＝AD+BD＝FA+BD．

（2）點D在AB的延長線上時，AB＝AF﹣BD，

理由如下：

①當點D在AB的延長線上時，如圖2．

與（1）同樣的方法可證：FA＝DA，

則AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．

②點D在AB的反向延長線上時，如圖3，

同理可證：FA=DA，

則AB=BD-AD=BD-AF．