Question

【題目】已知，平行四邊形ABCD中，連接AC，AC＝AB．過點B作BE⊥AC，垂足為E．延長BE與CD相交于點F：

（1）如圖1，若AE＝2．CE＝1，求線段AD的長．

（2）如圖2，若∠BAC＝45°，過點F作FG⊥AD于點G，連接AF、EG，求證：BE+EC＝EG．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）根據垂直的定義得到∠AEB=∠BEC=90°，根據勾股定理得到BE=，BC=，根據平行四邊形的性質即可得到結果；
（2）推出△AEB是等腰直角三角形，得到∠ABE=45°，設∠CBE=x，根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°+x，求得∠EBC=22.5°，∠ACB=67.5°，推出A、B、C、F四點共圓，A、E、F、G四點共圓，得到∠CAF=∠CBE=22.5°，∠EGF=∠EAF=22.5°，求得∠AGE=67.5°，推出AE=GE，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

（1）解：∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∵AE＝2，CE＝1，

∴AC＝AB＝3，

，

，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝；

（2）證明：∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∵∠BAC＝45°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴∠ABE＝45°，AE＝BE，

∵AB∥CD，

∴∠ACF＝45°，∠ABC+∠DCB＝180°，

設∠CBE＝x，

∴∠ABC＝45°+x，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°+x，

∵∠EBC+∠ECB＝90°，

∴x+45°+x＝90°，

∴x＝22.5°，

∴∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，

∵∠ABF＝∠ACF＝45°，

∴A、B、C、F四點共圓，

∴∠CAF＝∠EBC＝22.5°，

∵FG⊥AD，

∴∠AGF＝∠AEF＝90°，

∴A、E、F、G四點共圓，

∴∠EGF＝∠EAF＝22.5°，

∴∠AGE＝67.5°，

∵∠CAD＝∠ACB＝67.5°，

∴∠EAG＝∠AGE，

∴AE＝GE，

∵AC＝AB＝AE，

∴BE+EC＝AE+EC＝AC＝EG．