Question

如圖：正方形ABCO的邊長為3，過A（0，3）點作直線AD交x軸于D點，且D點的坐標為（4，0），線段AD上有一動點，以每秒一個單位長度的速度移動．
（1）求直線AD的解析式；
（2）若動點從A點開始沿AD方向運動2.5秒時到達的位置為點P，求經過B、O、P三點的拋物線的解析式；
（3）若動點從A點開始沿AD方向運動到達的位置為點P₁，過P₁作P₁E⊥x軸，垂足為E，設四邊形BCEP₁的面積為S，請問S是否有最大值？若有，請求出P點坐標和S的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

（1）設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3=b 0=4k+b

，
解得

k=- 3 4 b=3

．
解析式為：y=-

3

4

x+3．

（2）因為AP=2.5，AD=5，
所以P（2，1.5），
設過B，O，P的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
將B（-3，3），O（0，0），P（2，1.5），
則

3=9a-3b+c 0=c 4a+2b+c=1.5

，
解得

a= 7 20 b= 1 20 c=0

，
解析式為y=

7

20

x²+

1

20

x．

（3）設P（x，y），
則y=-

3

4

x+3
S=

1

2

（y+3）×（3+x）
即S=-

3

8

x²+

15

8

x+9
所以P₁（

5

2

，

9

8

）時，S_最大=

363

32

．