Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延長線與BC的延長線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．
（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD= ，求矩形EMCN的長和寬．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，

∴AD=DF，DE⊥AF，

又∵AD⊥DC，

∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DAF=∠EDF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠GAD=45°，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∵M，N分別是BG，DF的中點，

∴EM⊥BC，EN⊥CD，

又∵AD∥BC，AD⊥DC，

∴BC⊥CD，

∴四邊形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=CD，

∴S梯形ABCD= （AD+BC）CD= （2+CD）CD= ，

即CD2+2CD﹣15=0，

解得CD=3，CD=﹣5（舍去），

∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=AD=2，

∵N是DF的中點，

∴EN=DN= DF= ×2=1，

∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，

∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．

【解析】（1）根據軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BGE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據矩形的判定證明即可；（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據梯形的面積求出CD的長，再根據等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解．
【考點精析】關于本題考查的直角梯形，需要了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能得出正確答案．