Question

【題目】如圖，點是等邊內一點， ．將繞點按順時針方向旋轉得，連接．

(1)求證： 是等邊三角形；

(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；

(3)探究：當為多少度時， 是等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 直角三角形;(3) 125°或110°或140°

【解析】試題分析：

(1) 根據題意可知，△BOC通過旋轉變換得到△ADC. 根據旋轉變換的性質可知，△BOC≌△ADC. 由此易知，△COD是等腰三角形. 根據上述旋轉變換的旋轉角可知，∠OCD=60°. 不難證明等腰三角形COD為等邊三角形.

(2) 結合第(1)小題的結論可知，∠ODC=60°. 根據旋轉變換的性質可知，∠BOC=∠ADC=α=150°. 不難發現，∠ADO=90°. 這可以說明△AOD是直角三角形. 進一步觀察圖形可知，共用頂點O的四個角組成一個周角，可以利用這一關系求得∠AOD的度數，進而利用三角形內角和求得∠OAD的度數. △AOD的形狀可以用這三個內角的度數進行描述.

(3) 由于△AOD的三個內角兩兩相等均可以使△AOD為等腰三角形，所以應該對這三個內角兩兩相等的三種情況分別進行討論. 在討論之前，應該先求得這三個內角與α的關系，這樣可以將兩個內角相等的條件轉化為關于α的方程，進而求得符合條件的α的值. 根據第(2)小題的思路可知，利用“共用頂點O的四個角組成一個周角”這一關系，可以得到∠AOD與α的關系式；利用旋轉變換的性質和等邊三角形的性質，可以得到∠ADO與α的關系式；在△AOD中利用三角形內角和可以得到∠OAD與α的關系式. 在求得這些關系式后，依照上述的解題思路進行分情況討論即可.

試題解析：

(1) 證明：

∵△BOC繞點C旋轉得到△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴OC=DC，

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，

∴∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形.

(2) △AOD是兩個銳角分別為40°和50°的直角三角形. 理由如下.

∵△COD是等邊三角形，

∴∠COD=∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，

又∵α=150°，

∴∠BOC=∠ADC=α=150°.

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，

∴△AOD是直角三角形.

∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°

又∵∠AOB=110°，∠BOC=α=150°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-150°-60°=40°，

∴在Rt△AOD中，∠OAD=90°-∠AOD=90°-40°=50°.

∴△AOD是兩個銳角分別為40°和50°的直角三角形.

(3) ∵△COD是等邊三角形，

∴∠COD=∠CDO=60°.

∵∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α.

∵∠BOC=∠ADC=α，

∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°.

∴在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.

根據題意，△AOD的三個內角兩兩相等均可以使△AOD為等腰三角形，

故應該對下面三種情況分別進行討論.

①若∠ADO=∠AOD，即α-60°=190°-α，∴α=125°.

②若∠ADO=∠OAD，即α-60°=50°，∴α=110°.

③若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-α，∴α=140°.

綜上所述，當α為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形.