Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，CFBD．

（1）求證：BE＝CE；

（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；

（3）若BC＝6，AD＝10，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）菱形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）首先利用HL證明Rt△ABD≌Rt△ACD，則有∠BAD＝∠CAD，然后再利用等腰三角形三線合一即可證明結論；

（2）首先根據等腰三角形三線合一得出AD⊥BC，然后進一步可證明△BED≌△CEF，則有CF＝BD，利用一組對邊平行且相等可證明四邊形BFCD是平行四邊形，再利用Rt△ABD≌Rt△ACD證明BD＝CD即可證明四邊形BFCD是菱形；

（3）首先證明△AEC∽△CED，則有，設DE＝x，建立一個關于x的方程，解方程即可求出DE的值，最后再利用勾股定理即可求出CD的長度．

解（1）證明：∵AD是直徑，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE；

（2）四邊形BFCD是菱形．

證明：∵AB＝AC，BE＝CE，

∴AD⊥BC，

∵CFBD，

∴∠FCE＝∠DBE，

在△BED和△CEF中

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF＝BD，

∴四邊形BFCD是平行四邊形，

∵Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴BD＝CD，

∴四邊形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE＝CE，且∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，

∴△AEC∽△CED，

∴，

∴CE2＝DEAE，

設DE＝x，

∵BC＝6，AD＝10，

，

∴32＝x（10﹣x），

解得：x＝1或x＝9（舍去）

在Rt△CED中，

CD＝＝．