Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于兩點，拋物線經過兩點，且交軸于另一點.點為第一象限內拋物線上一動點，過點作交于點，交軸于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點的橫坐標為在點移動的過程中，存在求出此時的值；

（3）在拋物線上取點在坐標系內取點問是否存在以為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標為或．

【解析】

（1）先利用一次函數與坐標軸相交，求出B、C兩點的坐標，再根據拋物線解析式及A、B兩點坐標設出交點式，再將C的坐標代入求出a的值即可得到拋物線解析式；

（2）如圖，過點D作DM⊥BC于M，點P（m，m＋3），點D（m，m2＋2m＋3），利用參數求出DM，CM的長，由銳角三角函數可求解；
（3）分兩種情況討論，當CE⊥BC時或BE⊥BC時，分別求出直線CE的方程或BE的方程，聯立方程組可求解．

直線交坐標軸于兩點，

點的坐標為，點的坐標為

點的坐標為，點的坐標為

設拋物線的解析式為．

將代入．

得

拋物線解析式為．

過點作于點，如圖1所示

設點坐標為，則點坐標為

．

在中，

在中，

在中，，

在中，．

在中，

，

在中，由勾股定理，

得

又

解得(舍去)，

的值為

（3）存在，
若CE⊥BC時，
∴直線CE解析式為：y＝x＋3，
∴
∴(舍去)或者
∴點E坐標（1，4），
若BE⊥BC時，
∴直線BE解析式為：y＝x3，
∴
∴（舍去），或者
∴點E坐標（2，5），
綜上所述：當點E（1，4）或（2，5）時，以C、B、E、F為頂點且以CB為邊的矩形．