Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．

（1）求拋物線的解析式：
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM周長最短？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=3x﹣3中，令y=0可求得x=1，令x=0可得y=﹣3，

∴A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3

（2）

解：令y=0得0=x2+2x﹣3，解得x1=1，x2=﹣3

∴C（﹣3，0），AC=4

∴S△ABC= ACOB= ×4×3=6

（3）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x=﹣1，

∵A、C關于對稱軸對稱，

∴MA=MC，

∴MB+MA=MB+MC，

∴當B、M、C三點在同一條直線上時MB+MC最小，此時△ABM的周長最小，

∴連接BC交對稱軸于點M，則M即為滿足條件的點，

設直線BC的解析式為y=kx+m，

∵直線BC過點B（0，﹣3），C（﹣3，0），

∴ ，解得 ，

∴直線BC的解析式y=﹣x﹣3，

當x=﹣1時，y=﹣2，

∴M（﹣1，﹣2），

∴存在點M使△ABM周長最短，其坐標為（﹣1，﹣2）

【解析】（1）由直線解析式可求得A、B兩點的坐標，根據待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得C點坐標，再根據三角形的面積可求得答案；（3）連接BC交對稱軸于點M，由題意可知A、C關于對稱軸對稱，則可知MA=MC，故當B、M、C三點在同一條直線上時MA+MB最小，則△ABM的周長最小，由B、C坐標可求得直線BC的解析式，則可求得M點的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．