Question

【題目】如圖，矩形OABC頂點B的坐標為(8，3)，定點D的坐標為(12，0)，動點P從點C出發．以每秒1個單位長度的速度沿CB勻速運動，動點Q從點D出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，P，Q兩點同時運動，當Q點到達O點時兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，

(1)當t為何值時，四邊形OCPQ為矩形？

(2)當t為何值時，以C，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形？

(3)E點坐標(5，0)，當△OEP為等腰三角形時，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)當t＝4時，四邊形OCPQ為矩形；(2)當t＝或4時，以C，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形；(3)P1(1，3)，P2(2.5，3)，P3(4，3)．

【解析】

(1)根據矩形的對邊相等可列方程，即可求出t的值；

(2) 當四邊形CPQA為平行四邊形時，分兩種情況，點Q在A的左側即CP＝AQ時和點Q在A的右側即CP＝QA時，列方程可求得t的值；

(3) △OEP為等腰三角形，則有OE=OP,OE=EP,OP=EP三種情況，利用“兩圓一線”即可得解.

由題意可知：0≤t≤6.

(1)∵四邊形OCPQ為矩形，

∴CP＝OQ，

∴t＝12－2t，t＝4.

∴當t＝4時，四邊形OCPQ為矩形．

(2)當四邊形CPQA為平行四邊形時，CP＝AQ，

即t＝12－8－2t，∴t＝.

當四邊形CPAQ為平行四邊形時，CP＝QA，

即t＝2t－(12－8)，∴t＝4，

∴當t＝或4時，以C，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形．

(3) ∵△OEP為等腰三角形，

則有OE=OP,OE=EP,OP=EP,

當OE=OP時,以O為圓心,OE長為半徑畫弧,交BC于點P,此時OP=OE=5,

∵OC=3,

∴CP=4,

∴P (4，3);

當OE=EP時,以E為圓心,OE長為半徑畫弧,交BC于點P,此時PE=OE=5,

∴CP=5-4=1,

∴P (1，3);

當OP=EP時,作OE的垂直平分線交BC于點P,

∴CP=2.5,

∴P (2.5，3),

綜上,P1(1，3)，P2(2.5，3)，P3(4，3)．