Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．

（1）若P是BD上一點(diǎn)，且PA＝CD，求∠PAB的度數(shù)．

（2）①將圖1中的△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)D落在邊BC上的E處，AE交BD于點(diǎn)O，連接DE，如圖2，求證：DE2＝DODB；

②將圖1中△ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α得到△A'BD'(A與A'，D與D'是對(duì)應(yīng)點(diǎn))，若CD'＝CD，則cosα的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）∠P'AB＝75°或15°（2）①見解析②

【解析】

（1）先解直角三角形BDC與直角三角形ABD，過點(diǎn)H作AH⊥BD于H，分點(diǎn)P在點(diǎn)H的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，分別解直角三角形即可；

（2）

①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠AEB=45°，∠DOE=∠DEB=75°，證△BDE∽△EDO即可；

②根據(jù)題意△ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α得到△A'BD'(A與A'，D與D'是對(duì)應(yīng)點(diǎn))，CD'＝CD，則cosα的值為.

（1）在Rt△BDC中，∠DCB＝60°，CD＝8，

∴ BC＝16，BD＝8，

在Rt△ABD中，AB＝AD，

∴ ∠ABD＝∠ADB＝45°，

∴ AB＝AD＝8× ＝4 ，

如圖1，過點(diǎn)H作AH⊥BD于H，

則∠BAH＝∠DAH＝45°，AH＝ BD＝4，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H右側(cè)時(shí)，

在Rt△AHP中，AH＝4，AP＝DC＝8，∴ ∠HAP＝30°，

∴ ∠PAB＝∠BAH＋∠HAP＝75°．

當(dāng)點(diǎn)P'在點(diǎn)H左側(cè)時(shí)，

∴ ∠P'AB＝∠BAH－∠HAP'＝15°．

綜上所述，∠P'AB＝75°或15°．

（2）①由題意知，BE與BC在同一條直線上，∠AEB＝45°，BD＝BE，

∵ ∠DBE＝30°，

∴ ∠BDE＝∠BED＝ (180°－30°)＝75°，∠DOE＝∠DBE＋∠AEB＝75°，

∵ ∠BDE＝∠EDO，∠DOE＝∠DEB＝75°，

∴△BDE∽△EDO，

∴ ，

∴ DE2＝DODB．

（3）根據(jù)題意△ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α得到△A'BD'(A與A，D與D'是對(duì)應(yīng)點(diǎn))，CD'＝CD，則cosα的值為.