Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，將AC繞著點A順時針旋轉60°得AE，連接BE，CE．

（1）求證：△ADC≌△ABE；

（2）求證：

（3）若AB=2，點Q在四邊形ABCD內部運動，且滿足，直接寫出點Q運動路徑的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）推出∠DAC=∠BAE，則可直接由SAS證明△ADC≌△ABE；

（2）證明△BCE是直角三角形，再證DC=BE，AC=CE即可推出結論；

（3）如圖2，設Q為滿足條件的點，將AQ繞著點A順時針旋轉60度得AF，連接QF，BF，QB，DQ，AF，證△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理證∠FBQ=90°，求出∠DQB=150°，確定點Q的路徑為過B，D，C三點的圓上，求出的長即可．

（1）證明：∵∠CAE=∠DAB=60°，

∴∠CAE-∠CAB=∠DAB-∠CAB，

∴∠DAC=∠BAE，

又∵AD=AB，AC=AE，

∴△ADC≌△ABE（SAS）；

（2）證明：在四邊形ABCD中，

∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，

∵△ADC≌△ABE，

∴∠ADC=∠ABE，CD=BE，

∴∠ABC+ABE=∠ABC+∠ADC=270°，

∴∠CBE=360°-（∠ABC+ABE）=90°，

∴CE2=BE2+BC2，

又∵AC=AE，∠CAE=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴CE=AC=AE，

∴AC2=DC2+BC2；

（3）解：如圖2，設Q為滿足條件的點，將AQ繞著點A順時針旋轉60度得AF，連接QF，BF，QB，DQ，AF，

則∠DAQ=∠BAF，AQ=QF，△AQF為等邊三角形，

又∵AD=AB，

∴△ADQ≌△ABF（SAS），

∴AQ=FQ，BF=DQ，

∵AQ2=BQ2+DQ2，

∴FQ2=BQ2+BF2，

∴∠FBQ=90°，

∴∠AFB+∠AQB=360°-（∠QAF+∠FBQ）=210°，

∴∠AQD+∠AQB=210°，

∴∠DQB=360°-（∠AQD+∠AQB）=150°，

∴點Q的路徑為過B，D，C三點的圓上，

如圖2，設圓心為O，則∠BOD=2∠DCB=60°，

連接DB，則△ODB與△ADB為等邊三角形，

∴DO=DB=AB=2，

∴點Q運動的路徑長為：．