Question

【題目】如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；

（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．理由見解析；（2）見解析；（3）GE＝．

【解析】

（1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；

（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．

（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．

證明：∵AB＝AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB＝CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）如圖2，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2．

（3）連接CG、BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，

∴GE＝．