Question

【題目】我們把能被13整除的數稱為“自覺數”，已知一個整數，把其個位數字去掉，再從余下的數中加上個位數的4倍如果和是13的倍數，則原數為“自覺數”，如果數字仍然太大不能直接觀察出來就重復此過程．如416：41+4×6＝65，65÷13＝5，所以416是自覺數；又如25281：2528+4×1＝2532，253+4×2＝261，26+4×1＝30，因為30不能被13整除，所以25281不是“自覺數”．

（1）判斷27365是否為自覺數　 　（填“是”或者“否”）．

（2）一個四位數n＝，規定F（n）＝|a+d﹣b×c|，如：F（2019）＝|2+9﹣0×1|＝11，若四位數n能被65整除，且該四位數的千位數字和十位數字相同，其中1≤a≤4．求出所有滿足條件的四位數n中，F（n）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）32．

【解析】

（1）根據“自覺數”的方法計算即可得出結論；

（2）先確定出n既能被5整除也能被13整除，進而確定出或，分兩種情況，利用n能13整除計算即可得出結論.

（1）

因為65能被13整除

所以27365是自覺數

故答案為：是；

（2）∵四位數能被65整除

∴四位數既能被13整除也能被5整除

∵四位數n能被5整除

∴四位數n的個位數字是0或5

即或

∵四位數n的千位數字和十位數字相同

當時，

去掉個位數字0，得到三位數

∵四位數能被13整除

∴三位數能被13整除

再去掉個位數字a，得到兩位數

則能被13整除

∵b是四位數字的百位數字

或39或52或65

當時，，不存在符合題意的a，b的值

當時，，不存在符合題意的a，b的值

當時，，不存在符合題意的a，b的值

當是，，此時

即

當時，

去掉個位數字5得到三位數

∵四位數能被13整除

能被13整除

而的個位數字是a

再去掉個位數字，得到的兩位數的個位數字為，十位數字是a

則能被13整除

或39或52或65

當時，，不存在符合題意的a，b的值

當時，，此時

即

當時，，此時

即

當時，，此時

即

綜上，的值為32或11或16或19

故最大值為32.